ანზორ გიგუშას ძე კავსაძე დაიბადა 1930 წელს ჭიათურაში, მომღერლების ოჯახში. ბავშვს თავიდანვე კარგი მუსიკალური სმენა და ხმა ჰქონდა. ცნობილი მომღერლისა და ლოტბარის სანდრო კავსაძის შვილიშვილი ბავშვობაშივე ახერხებდა ჭიათურაში პატარა პიონერული გუნდების ხელმძღვანელობას. 19 წლისა თბილისის პოლიტექნიკურ ინსტიტუტში იწყებს სწავლას, მაგრამ, მუსიკას მოწყურებული, პარალელურად თბილისის II მუსიკალურ სასწავლებელში საგუნდო ხელოვნებას ეუფლება გრიგოლ კაპანაძესთან, რომელიც შთააგონებს მას მომავალ პროფესიას - დირიჟორობას. შემდეგ იგი ნიჭიერ ბავშვთა მუსიკალურ სკოლა-ინტერნატში შედის, იქიდან კი უკვე 1951 წელს თბილისის კონსერვატორიაში აბარებს. 1949 წელს თავისი ბიძის, მიხეილ კავსაძის, გუნდში მღერამ მას ბევრი რამ შესძინა. ანზორ კავსაძის მიერ ჭიათურაში მომზადებულმა გუნდმა 1951 წლის ოლიმპიადაზე პირველი ადგილი დაიკავა. იგი სწავლის პარალელურად ეწეოდა სადირიჟორო მოღვაწეობასაც. 1951 წლიდან იყო საქართველოს რადიოს კაპელის დირიჟორი და მომღერალი, 1954-1958 წლებში ვანო სარაჯიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო კონსერვატორიის საოპერო სტუდიის გუნდს დირიჟორობდა, 1956-1957 წლებში კი საქართველოს სახელმწიფო ფილარმონიის კაპელას. 1957 წლიდან საქართველოს ხალხური სიმღერისა და ცეკვის სახელმწიფო დამსახურებული ანსამბლის მთავარი დირიჟორი, ხოლო 1968 წლიდან 1975 წლამდე ამავე ანსამბლის სამხატვრო ხელმძღვანელი და მთავარი დირიჟორია. ამ წლებში ანსამბლმა განსაკუთრებულად მაღალმხატვრულ საშემსრულებლო დონეს მიაღწია, ქართული ხელოვნების მეორე დეკადაზე მოსკოვში თავი ისახელა კარგი რეპერტუარითა და დახვეწილი შესრულებით, წარმატებით გამართა გასტროლები საზღვარგარეთ, მათ შორის ამერიკის შეერთებულ შტატებში. მისი ხელმძღვანელობის დროს ანსამბლში მღეროდნენ: ვანო მჭედლიშვილი, შალვა კოვზირიძე, ჰამლეტ გონაშვილი, ჯემალ ცხვედიანი, მიხეილ შავიშვილი. სწორედ ამ პერიოდში შესრულდა და ჩაიწერა ილია ზაქაიძისა და როსტომ საგინაშვილის სოლისტობით ლეგენდარული „ჩაკრულო“, რომელიც დედამიწის ხმებთან და ჩვენი ცივილიზაციის სხვა რჩეულ ნიმუშებთან ერთად 1977 წელს აშშ-ს აერონავტიკის და კოსმოსური კვლევის ეროვნულმა სამმართველომ „NASA“-მ კოსმოსში გაგზავნა.
ანზორ კავსაძე სხვადასხვა დროს ხელმძღვანელობდა თვითმოქმედ ანსამბლებს, კვარტეტებს, ოქტეტებს...15 წელი ხელმძღვანელობდა გურჯაანის კულტურის სახლის ანსამბლს, 18 წელი - ზუგდიდის სიმღერისა და ცეკვის ანსამბლს. გარდა ამისა, სახელმწიფო კონსერვატორიაში საოპერო მომზადების კათედრაზე მუშაობდა პედაგოგ-დირიჟორად.
იგი გარდაიცვალა 2008 წელს, თბილისში, 78 წლის ასაკში.
ანზორ კავსაძის გუნდის ჩანაწერები ქართული ხალხური სიმღერის საერთაშორისო ცენტრს ცალკე დისკად აქვს გამოცემული.